Théorème
Dérivées partielles
Théorème de Schwarz :
Soit \(f:\Omega\subset\Bbb R^2\to\Bbb R\) et on suppose que les fonctions dérivées partielles secondes mixtes \(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\) et \(\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}\) existent et sont continues sur \(\Omega\) (i.e. \(f\in\mathscr C^2\))
Alors, pour tout point \(M\in\Omega\), on a : $$\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(M)=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(M)$$
(
Dérivée partielle seconde,
Continuité,
Classe de fonctions)
Différentielles
Lemme :
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels normés de \(E\) et \(f:U\to F\) deux fois différentiable
On pose : $${{A(h,k)}}={{f(a+h+k)-f(a+h)-f(a+k)+f(a)}}$$
Alors $$\lim_{ {{(h,k)\to(0,0)}} }{{\frac{\lVert A(h,k)-d^2f(a)(h,k)\rVert}{\lVert h\rVert^2+\lVert k\rVert^2} }}={{0}}$$
Théorème de Schwarz (différentielles) :
- soient \(E,F\) deux espaces vectoriels normés
- soit \(U\) un ouvert de \(E\)
- soit \(f:U\to F\) deux fois différentiable en \(a\in E\)
$$\Huge\iff$$
- \(d^2f(a)\) est symétrique
Généralisation
Proposition :
Si \(f\) est \(k\) fois différentiable, alors \(d^kf\) est symétrique
(
Différentielle d'ordre supérieur,
Fonction symétrique (Fonction multilinéaire symétrique))
